考虑一根长为，直径为（）的长细棒，取其轴线方向为轴，则其振动方程为

（1)

长棒沿方向振动，指长棒处截面在时刻的方向位移。为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒的横截面积，为其截面的惯量矩。

（2）

图1 长棒沿方向振动

（3）

（4）

（5）

式中，（6） 

(5)式称为频率公式。由式可看出，若已知频率等其它条件，可算出杨氏模量。

如果支撑点在试棒的节点，即处于共振状态的棒中，位移恒为零的位置附近（如图2图3中的节点位置），则棒的两端均处于自由状态，此时的边界条件为：两端横向作用力和弯矩均为零，所以

，，，（7）

由此可解得

（8）

用数值解法求得本征值和棒长应满足

，4.730，7.853，10.996，14.137，…… （9）

其中的根，对应于静止状态，因此将记做第一个根，对应的振动频率称为基振频率，此时棒的振幅分布如图2-3-2所示。而图2-3-3曲线对应于，称为一次谐波。将第一个本征值代入4-2-6式，可以得到自由振动的固有频率

， （10）

解得该金属棒的杨氏模量为：（11）

对于直径为的圆棒，其惯量矩，代入11式得

（12）

f为频率。在实际测量中，由于不能满足，所以上式应乘以一个修正系数，即

（13）

可根据的不同数值和材料的泊松比查表得到钢棒的修正系数表