思考题
1. 混沌现象的产生条件是什么？实验中为什么用相图来观测倍周期分叉等现象？
2. 通过本实验阐述一下倍周期分叉，混沌，奇怪吸引子等概念的物理意义。
混沌的有关知识
今天，经过科学家几十年的辛勤探索、研究，混沌理论已经揭示了混沌的一些基本特征，发现了通往混沌的三条道路，提供了描述不规则形状的几何方法。于是，人们开始认识和理解天气变化的特征，太阳系中一些奇怪的现象，种群涨落的规律，人体的复杂结构。特别是人们初步明白了湍流发生的机制。总之，混沌理论使非线性的复杂形态日益成为可以理解的东西。
对初始条件的敏感依赖性是混沌运动的基本特征，也有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感的依赖于系统的初始状态的系统。
在通信领域的使用 （上课录像）
通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而，调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌 应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并由此信号又具有整体稳定性,当我们用同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时，两个系统的某些部分将产生同步化的行为，这就为混沌应用于保密通信提供了可行性。
在气象学中的应用
早在1904年，挪威气象学家Bjerknes就提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题。在近年的气象研究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论，如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。 在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问题，即用动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的，必须考虑能量的补充和耗散。Lorenz发现了“蝴蝶效应”，指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间，也就是说进行长期预报是不可能的。
在生物学中的应用
混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变化；医学诊断疾病等方面。
我们也许可以想象最后的生命图景：从还原---综合还原高度整合。生命不仅是空间结构的范畴，更是时间的范畴，千千万万种物质的时空组合和演变，构成复杂而完美的动态生命体，将生命与非生命区分开来。如何解决生命的本质，很多科学家认为应从多角度入手，不仅仅是生物学的问题，而是一项系统工程，即未来的生命科学，必需包含有数学成分。研究人体这一复杂系统，混沌学、甚至弦论都不可少，只有将这些能研究复杂体系的数理方法融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破。因为生命的最基本本质是具有时空性、混沌性。 生命的整体性，包括：
时间上整体，即生命活动的高度有序性；空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电图的混沌产生与心脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到这一点，但将来肯定会的！ 当然，想彻底了解生命意义，这条路还很长很长。
在经济学中的应用
像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛纳尔公司（Cerner，纽约证交所代码CERN)首席执行官尼尔·帕特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司400名中层经理发出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了两成，逾3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜数。由此而应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论。虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为，动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混沌的研究比自然科学更为困难。 目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市场经济周期的观察积累了大量数据(Zarnowitz, 1992)。在各种代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据(Chen 1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理还不够充分，例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用对中国问题同样有潜在的可能。
混沌在其他学科的应用
①天体运行的长期行为不可预测；
②电路中的混沌现象；非线性系统的控制；
③利用分形研究物质结构及性能。